量子力学的路径积分表述
覃宇林
2019 9 17
contents
§I 经典力学的路径积分 1
§II 量子力学中路径积分的基本概念 1
§III 从一维自由粒子的路径积分看路径展宽 3
§IV 路径积分与波动力学表述的等价性 3
1 从薛定谔方程到费曼的路径积分 4
2
从费曼的路径积分到薛定谔方程 5
§V 路径积分表述对谐振子的处理 5
I
§I 经典力学的路径积分
在经典物理学中,粒子具有确定的轨迹,最小作用量原理告诉我们,粒子的真实运动的轨迹是使其作
用量取极值的那条轨迹。假设粒子在 t
1
时刻处于位置 x
1
, t
2
时刻处于位置 x
2
,那么粒子从 (t
1
, x
1
)
(t
2
, x
2
) 的运动轨迹由如下的方程确定:
δ
t
2
t
1
L(x(t), ˙x(t), t)dt = 0 (1)
这便是经典力学对于粒子运动的描述。
§II 量子力学中路径积分的基本概念
量子力学的波动力学表述形式指出粒子运动的波函数由 Schr¨odinger 方程决定:
i
t
ψ =
ˆ
Hψ (2)
我们现在主要从另一个角度来看待量子力学。既然经典力学中粒子有确定的轨迹,那么在量子的情况下可
不可以用确定的轨道来描述粒子的运动呢?从狭缝干涉实验我们可以看出来粒子的运动表现出波的性质,
在量子的情况下粒子确实没有确定的轨道,那么为什么还有路径的概念呢?为此我们可以借助费曼给出的
两个图来理解量子力学中的路径 (Figure 1,Figure 2).
Figure 1 Figure 2
Figure 1所示,假设 A 板处开一个小孔 A
1
,小孔左边是一个电子产生源,C 板上也有一个小孔
C
1
AC 之间放上三块板 BDE三块板上分别开有等距的小孔,比如说 B 上小孔标记为 B
1
, B
2
,D
板上的小孔为 D
1
, D
2
,E 板上的小孔为 E
1
,那么电子从 A
1
−− > C
1
的就有以下几种情况:
A
1
> D
1
> E
1
> B
1
> C
1
A
1
> D
1
> E
1
> B
2
> C
1
A
1
> D
2
> E
1
> B
1
> C
1
A
1
> D
1
> E
1
> B
1
> C
2
但是各个孔之间粒子怎么运动的我们不知道,我们只能说粒子经过了这些小孔。那么粒子没有确定的
轨迹到底经过了哪些孔,因此我们假设粒子这些方式都有可能,只是每个方式都有一定的概率,每一种方
式都会在 C
1
孔处贡献一定的概率幅,最后根据概率幅的叠加原理得到最后的结果。
1