拓展专题教学讲稿
覃宇林
2019 6 27
contents
§I 数学语言 1
1 数学的真-形式逻辑自洽 1
2 数学的善-数学语言的魔力 1
3 数学的美-永恒之美 2
§II 数学物理思维-形,数,逻辑,自然理性 3
1 形,数,逻辑,自然理性的统一 3
1 形与逻辑的统一 3
2 数学与自然理性的统一 4
3 数与形的统一 4
4 数与逻辑的统一 4
2 转变数学思维方式解决数学问题 4
1 自然理性思维解决形相关问题-以证明勾股定理 4
2 形的思维方式解决数的问题-以不等式证明为例 5
3 转变思维角度来解决数学问题 6
§III 数学历史-古今数学及数学发展 7
1 古代数学 7
1 古代埃及的数学 7
2 古巴比伦的数学 7
2
经典数学 8
1 古希腊的欧几里得数学 8
2 古代印度的数学 8
3 中国古代的数学 8
4 最最主要数学成就 9
3 近代数学 9
4 现代数学 10
1 空前绝后的数学奇才伽罗瓦 10
2 最最重要的数学成就 10
§IV 高中数学解题方法专题 11
1 转化归类法 11
2 反证法 11
3 数学归纳法 11
4 数形结合 13
5 从整体考虑问题 14
I
6 递推法 15
7 算两次 16
8 逐步调整法 16
9 构造法 16
10 不变量与对称性 17
§V 著名不等式专题 18
1 赫尔德不等式 18
2 詹森不等式 19
3 多元均值不等式 20
1 调和平均数与几何平均数 20
2 几何平均数与代数平均数 20
3 代数平均数与平方平均数 22
4 柯西不等式 22
5 闵可夫斯基不等式 23
6 阿贝尔变换与排序不等式 23
7 切比雪夫不等式 25
8 幂加权不等式 25
§VI 祖亘原理 26
1 祖亘原理与柱体的体积 26
2 祖亘原理与椎体的体积公式 26
3 祖亘原理与球体积公式 26
§VII 海伦-秦九韶公式 27
§VIII 虚数的存在性 28
§IX 反比例函数与双曲线 30
References 32
II
§I 数学语言
不同层次的人对数学的理解有不同的深度,有的人认为数学是一堆一堆的数的运算组成的集合,有的
人认为数学是一堆又一堆的符号,但在对数学理解比较深的人们看来,数学是大自然的语言,数学语言是
数学存在的家,数学语言是真善美的统一. 本节内容主要参考 [2]
1 数学的真-形式逻辑自洽
数学语言的第一特性是形式逻辑自洽的,现代数学语言中的每个规范术语都是在某个数学公理体系里
面被严格定义的,Hilbert 1904 年提出了一个数学公理体系在数学中能存在的必要条件:它的所有公理
在形式逻辑推理过程中是自洽的,也就是说利用数学语言,不可能推出形式逻辑上的矛盾。因此数学上的
存在只要满足自身有矛盾,那么便可以说这个东西在数学上是存在的。我们可以定义各种各样的新数学,
定义总是可以的,但其是否存在则需要我们由此出发看是否会导出矛盾,如果这个体系自身逻辑自洽,
且与已知的自洽的数学体系不相矛盾,那么我们就说这在数学上是存在的,因而数学是真实存在的,是可
以判断其存在性的,是真真切切的东西,其形式逻辑自洽性体现了数学的“真”。比如我们可以定义:
1 + 1 = 0
这样定义是可以的,但其存在性是需要讨论的,很显然如果那样定义之后,我们有:
2 = 2 + 0 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4
这样我们便推出了矛盾,所以我们就说这样的等 1 + 1 = 0 是不存在的,在数学上是不存在的,因为由
此出发我们推出了自相矛盾的等式。
比如虚数和非欧几何都是这样产生的。正是由于这样,数学家就可以不受已有体系的思想束缚,大胆的运
用想象力,发现新的形式逻辑自洽体系,如果这个体系对数学的发展比较重要,那么更多的人研究这个体
系,从而数学得到了新的发展。因此数学思维可以充分展现人类的本质力量创造力。
2 数学的善-数学语言的魔力
通过数学语言,通过简单的方程,几个符号串就能准确的表达大自然中最基本的规律,如:
F = G
m
M
r
2
这是万有引力定律,天体经典描述的几乎一切信息都蕴含在这个方程里面,通过这个方程我们可以初步了
解整个宇宙的天体运动规律,可以由此得到要制造人造卫星所要满足的最基本条件,可以解释为什么自然
界的物体都会掉向地面而非飞向天空,可以解释为什么海平面是球面等等。
E = mc
2
这是爱因斯坦著名的质能方程,通过这个方程我们可以理解为什么质量和能量是统一的,可以看到原子内
部所蕴含的巨大能量,可以明白为什么原子弹的威力如此之大。
D · dS = q
0
E · dl =
B
t
· dS
B · dS = 0
1
H · dl = I
0
+
D
t
· dS
上面的方程组便是著名的麦克斯韦方程组,通过一个简单的数学表达式便可以描述几乎整个电磁世界,
电与磁几乎成为了当今生活不可缺少的一部分。上面这个方程组还蕴涵着电磁波的存在性,并且给出了电
磁波的传播速度为光速,而电磁波也是当下生活不可或缺的一部分,而这所有的这一切,都是通过数学语
言来描述的。
i
t
Ψ =
ˆ
HΨ
上面这个方程便是量子力学里面最基本的 Schrodinger 方程,通过这么一个简单的方程便可以描述整个微
观体系,能让我们明白原子的结构,材料呈现半导体性质的物理机制,以及各种各样的问题
通过数学语言,可以研究太阳系。大自然背后的数学方程是牛顿的伟大发现;通过数学语言,可以研究约
13 亿年前两个黑洞合并产生的引力波,130 亿年前的早期宇宙;通过数学语言,可以研究原子,电子,
(10
18
m),在如此小的空间中用数学语言能做到精确的描述和计算,只能运用数学语言才能做到;
过数学语言可以研究晶体的结构,核磁共振光谱学等;通过数学语言可以研究 DNA 双螺旋结构的拓扑性
质;通过数学语言可以研究神经元的脉冲传导过程,遗传的统计规律,种群的生长模型
数学也有很多的运用,数学可以运用于场效应管的制造工艺与模拟,电路的逻辑设计与物理设计;可以运
用于机器证明,密码学,信息压缩,可以运用于经济学中的资源最优配置等,可以运用于音乐和声分析等
所有的这一切自然界规律的呈现能有如此简单的形式都归结于数学语言,数学语言就是大自然的语言,
数学存在的家,通过数学语言我们能用简单的几个字符串描述自然界运行的规律,不得不说数学具有着无
与伦比的魔力。而所有的这一切都我们都可以通过数学语言来了解自然界,与自然界和谐相处,这体现了
数学的“善”
3 数学的美-永恒之美
毕达哥拉斯学派认为美表现在称性,数学美表现于行的对称,数的和谐,逻辑的自洽,例如圆,欧几
里得几何公理体系的逻辑自洽。
苏格拉底认为美与善是一致的。数学美与数学的广泛运用是一致的。例如牛顿-莱布尼茨公式(微积分学中
的最基本公式,可以解决一大类积分计算问题)傅立叶级数 (可以广泛运用于信号分析,频谱分析,傅立
叶光学等),厄米矩阵的对角化(可以计算量子力学里面的本征谱),群的概念(运用〸分广泛,几乎任何
一个现代数学领域都会涉及到群)等等。
黑格尔认为美是理性的感性显现。数学美是自洽逻辑体系的数形显现。例如:欧几里得几何的逻辑体系,
复数(二元数)的逻辑体系,四元数的逻辑体系,等等。
马克思认为美是人的本质力量的对象化。数学美是人的本质力量的精确符号化。例如:古代数学中的欧几
里得公设,阿基米德的球体积公式,近代数学的牛顿
-
莱布尼茨公式,高斯曲率内蕴性,现代数学中的伽罗
瓦群等,Bott 周期律,Atiya-Singer 指标定理等,这些数学成就都是人类本质力量在那个时代的代表,
们都已经转化成了精确的符号:
//
=
etc
V =
4
3
πR
3
< dF, [a, b] > =< F, [a, b] >
C
κ
g
ds +
D
K dσ = 2π
n
i=1
α
i
D
K dσ = 2πχ(S)
2
Gal(x
2
+ bx + c) = S
2
= {1, (1, 2)}
Gal(x
3
+ ax
2
+ bx + c) = S
3
A
3
= {1, (1, 2)(1, 3), (1, 3)(1, 2)}
这些符号将被人类一代又一代的传承下去,获得永恒。这就是数学特有的永恒美。数学语言实质上是人类
在实践和发展中追求“永恒真善美”的产物,是大自然的语言。
§II 数学物理思维-形,数,逻辑,自然理性
1 形,数,逻辑,自然理性的统一
数学语言是数学思维的表达。数学中至少有四种基本的思维方式:形,数,逻辑,自然理性,他们的
统一对数学的发展起着〸分重要的作用 [2]
形的思维方式:点,直线,平面,圆,三角形,球面,多面体,空间,平行,相似,距离等等;
数的思维方式:自然数,有理数,实数,二元数,四元数,集合,矩阵,多项式,数列,不等式等等;
逻辑的思维方式:公设,公理,推理法则,定义,命题,充分条件,必要条件,逻辑体系,逆否命题
等等;
自然理性的思维方式:对应物理学中的术语:变量对应运动,导数对应速度,二阶导数对应加速度,
积分对应功等;
1 形与逻辑的统一
数与形的统一是在公元 300 年左右有欧几里得完成的。在古希腊时代,欧几里得的几何原本一书,
就实现了形与逻辑的统一,欧几里得几何的五条公理便是逻辑的思维方式:
第一公设任意给定两个不同的点,可以作唯一一条以此两点为端点的直线段To draw a straight line
from any point to any point)
第二公设 任意给定一条直线段,可以从此直线段的任意一端唯一地延长为一个直线段其长度可以任
意大(To produce a nite straight line continuously in a straight line)
第三公设 以任意给定的点为中心和任意大小的距离为半径可作唯一一个圆To describe a cicle with
any centre and distance)
第四公设 所有点处的所有直角都彼此相等(That all right angle are equal to one another)
第五公设 如果一条直线段相交于两条直线段,且交成的两个同侧的内角之和小于两个直角之和,则
两条线段,侧一去,相交That ,if a stright line falling
on two stright lines make the interior angles on the same side less than two right angles ,the two
stright lines,if produced indenitely ,meet on that side on which are the angles less than the two
right angles)
利用这五个公社,加上各种平行相交,角度的定义,由此导出的欧几里得几何,这也是现在中学生所学的
几何,从而第一次实现了形与逻辑的统一,这也是为什么古代希腊的数学不同于其他地方数学的原因,
是为什么欧几里得几何如此重要的原因。
3
2 数学与自然理性的统一
数学与自然理性的统一是 17 世纪左右由牛顿完成的。牛顿的《自然哲学之数学原理》一书,实
了数学与自然理性的统一,他揭示了自然理性背后的数学方程,他提出的三大定律:
牛顿第一定律 一切物体在没有受到力的情况下,总保持静止状态或匀速直线状态
牛顿第二定律
dp
dt
= F
牛顿第三定律 作用力与反作用力总是大小相等方向相反
加上万有引力定律便可以导出经典物理的大厦,从而将物理(自然理性)的研究提升到了定量的方程描述
中,在人类史上第一次实现了数学与自然理性的统一,从此改变了科学研究的面貌。因此牛顿是“大神”
的地位几乎是无法撼动的,他的理论是非常重要的,因此牛顿的理论放在现在基本上是高中生必修的内容。
3 数与形的统一
数与形的统一是在 17 世纪由笛卡尔和费马实现的。笛卡尔创立了平面直角坐标系,从而可以将几
图形利用代数方程来表达,比如高中要学的圆锥曲线,平面向量,空间向量等都是基于数形的统一,利用
计算来解决几何问题,正因为实现了数与形的统一,所以笛卡尔的理论,解析几何的理论才变得如此的重
要,以至于是现代高中生的数学的必修内容。
4 数与逻辑的统一
但是,数与逻辑的统一是很晚的事情,直到 19 世纪之前,无理数概念一直没有严格定义。这在数学
史上造成了两次数学危机:古希腊数学中关于无理数存在性的争议;近代欧洲数学中关于无穷小的争议。
19 世纪下半叶,多个数学家从有理数出发建立了实数的理论,如戴德金的有理集的分划理论等,希尔伯特
1899 年用公理化的方法直接构造了“实数公理体系”,从而实现了“数”与“逻辑”的直接统一,因而实数理
论也是非常重要的理论,它是整个现代分析学的基础。这部分内容是现代教育体系里面数学系学生大学本
科的基本内容之一。
2 转变数学思维方式解决数学问题
在当代数学体系里面,数,形,逻辑,自然理性是统一的,他们实现了完全的统一,因此本质上他们
都是同一个东西,因此我们就可以不局限于某一个特定的思维方式,有时利用一个思维层面上的问题解决
另一个思维层面上的问题也许就更加的简单与意义清晰。
1 自然理性思维解决形相关问题-以证明勾股定理
我们假设三角形各边及角的信息如图所示,由于 ASA 全等三角形判定法则我们只需要两个角及其夹
边长度便可以完全确定三角形,因此我们选择角 AB 及斜边长度 c,三角形便确定了,因此三角形的面
积为 S=f(A,B,c), 下面我们利用量纲分析来确定此函数,首先写出各个量的量纲:
于是我们可以写出关系式:
S = kc
2
4