高二数学讲稿
覃宇林
北京大学物理学院
2019 6 27
contents
§I 数学语言 1
1 数学的真-形式逻辑自洽 1
2 数学的善-数学语言的魔力 1
3 数学的美-永恒之美 2
§II 数学物理思维-形,数,逻辑,自然理性 3
1 形,数,逻辑,自然理性的统一 3
1 形与逻辑的统一 3
2 数学与自然理性的统一 4
3 数与形的统一 4
4 数与逻辑的统一 4
2 转变数学思维方式解决数学问题 4
1 自然理性思维解决形相关问题-以证明勾股定理 4
2 形的思维方式解决数的问题-以不等式证明为例 5
3 转变思维角度来解决数学问题 6
§III 数学历史-古今数学及数学发展 7
1 古代数学 7
1 古代埃及的数学 7
2
古巴比伦的数学 7
2 经典数学 8
1 古希腊的欧几里得数学 8
2 古代印度的数学 8
3 中国古代的数学 8
4 最最主要数学成就 9
3 近代数学 9
4 现代数学 10
1 空前绝后的数学奇才伽罗瓦 10
2 最最重要的数学成就 10
§IV 集合的补充内容 11
1 集合的子集族-与拓扑有关 11
2 集合的分划与覆盖-与拓扑,分类原理有关 11
3 有限集元素个数与容斥原理 11
§V 函数的迭代 12
I
1 函数的迭代 12
1 函数迭代的定义 12
2 函数 n 次迭代的计算 13
3 函数不动点与桥函数的关系 14
§VI 高中数学解题方法专题 15
1 转化归类法 15
2 反证法 15
3 数学归纳法 15
4 数形结合 17
5 从整体考虑问题 18
6 递推法 18
7 算两次 18
8 逐步调整法 18
9 构造法 19
10 不变量与对称性 19
§VII 海伦-秦九韶公式 19
§VIII 祖亘原理 20
1 祖亘原理与柱体的体积 20
2 祖亘原理与椎体的体积公式 20
3
祖亘原理与球体积公式 21
§IX 复数及其表示 21
1 复数 21
1 复数的基本概念 21
2 复数的表示方法 24
3 复数的性质 25
4 复数的三角表示及其应用 26
§X 反比例函数与双曲线 27
§XI 著名不等式专题 28
1 赫尔德不等式 28
2 詹森不等式 28
3 多元均值不等式 30
1 调和平均数与几何平均数 30
2 几何平均数与代数平均数 30
3 代数平均数与平方平均数 32
4 柯西不等式 32
5 闵可夫斯基不等式 33
6 阿贝尔变换与排序不等式 33
7 切比雪夫不等式 35
8 幂加权不等式 35
II
§XII 三⻆函数与三⻆恒等变换 36
1 基本的三角函数 36
1 任意角与弧度制 36
2 任意角的三角函数 36
3 三角函数的诱导公式 37
4 三角函数的图像和性质 38
2 基本的三角恒等变换 38
3 特殊三角恒等变换技巧 40
4 三角形中的三角函数 42
1 正弦定理 42
2 余弦定理 42
3 三角形中其他重要三角函数关系 42
III
§I 数学语言
§I 数学语言
不同层次的人对数学的理解有不同的深度,有的人认为数学是一堆一堆的数的运算组成的集合,有的
人认为数学是一堆又一堆的符号,但在对数学理解比较深的人们看来,数学是大自然的语言,数学语言是
数学存在的家,数学语言是真善美的统一.
1 数学的真-形式逻辑自洽